`b)` Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HM\perp AB$
`=>AH^2=AM.AB` (hệ thức lượng)
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HN\perp AC$
`=>AH^2=AN.AC` (hệ thức lượng)
`=>AM .AB=AN.AC` (đpcm)
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)
`\qquad AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)
`=>{AB^2}/{AC^2}={BH.BC}/{CH.BC}={BH}/{CH}`
Vậy `{AB^2}/{AC^2}={BH}/{CH}` (đpcm)
$\\$
`c)` Vì `AM .AB=AN.AC` (câu b)
`=>{AM}/{AC}={AN}/{AB}`
Xét $∆AMN$ và $∆ACB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AM}/{AC}={AN}/{AB}`
`=>∆AMN∽∆ACB` (g-g)
`=>\hat{AMN}=\hat{ACB}`
$\\$
Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $MN$
Vì $AD\perp MN$ tại $E$
`=>∆AME` vuông tại $E$
`=>\hat{AME}+\hat{MAE}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ACB}+\hat{MAE}=90°`
Mà $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{ACB}+\hat{ABC}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ABC}=\hat{MAE}`
`=>\hat{ABD}=\hat{BAD}` $(1)$
`=>90°-\hat{ABD}=90°-\hat{BAD}`
`=>\hat{ACD}=\hat{CAD}` $(2)$
$\\$
Từ `(1)=>∆ABD` cân tại $D$
`=>AD=BD`
Từ `(2)=>∆ACD` cân tại $D$
`=>AD=CD`
`=>BD=CD`
Mà $B;D;C$ thẳng hàng
`=>D` là trung điểm $BC$ (đpcm)
