Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} \le \frac{a}{{2ab}} = \frac{1}{{2b}}\\
{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \Rightarrow \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} \le \frac{b}{{2bc}} = \frac{1}{{2c}}\\
{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \Rightarrow \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{c}{{2ca}} = \frac{1}{{2a}}\\
\Rightarrow \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)
Bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.
