Giải thích các bước giải:
a.Vì $AB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$
$\to\Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to AE.AD=AB^2$ không đổi
b.Từ câu a
$\to\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AB}{AE}$
Chứng minh tương tự $\to \dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC}{AE}$
Mà $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB=AC$
$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AE}$
$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{CD}{CE}$
$\to BD.CE=BE.CD$
c.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$
Mà $AB\perp OB\to AB^2=AH.AO$
$\to AH.AO=AD.AE$
$\to\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$
$\to\Delta ADH\sim\Delta AOE(c.g.c)$
$\to \widehat{AHD}=\widehat{AEO}$
$\to OHDE$ nội tiếp
d.Ta có $FD,FE$ là tiếp tuyến của (O)
$\to FD\perp OD,FE\perp OE$
$\to FDOE$ nội tiếp đường tròn đường kính $FO$
Mà $DHOE$ nội tiếp
$\to D,F,E,O,H\in$ đường tròn đường kính $FO$
$\to \widehat{FHO}=90^o\to FH\perp OH$
$\to FH\perp OA$
Mà $BH\perp OA$
$\to F,B,H$ thẳng hàng
$\to F,B,C$ thẳng hàng
e.Ta có $\widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}=\widehat{EDO}=\widehat{EHO}$
$\to \widehat{DHB}=\widehat{BHE}$
Mà $\widehat{DHE}=\widehat{DOE}$
$\to\widehat{DHB}=\dfrac12\widehat{DOE}=\widehat{DCE}$
$\to 180^o-\widehat{DHB}=180^o-\widehat{DCE}$
$\to \widehat{DHC}=\widehat{DBE}$
Mà $\widehat{BED}=\widehat{DCH}$
$\to \Delta DBE\sim\Delta DHC(g.g)$
$\to\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{BE}{HC}$
$\to \dfrac{DH}{HC}=\dfrac{BD}{BE}$
Lại có : $\widehat{BHE}=\widehat{DHB}=\widehat{DCE},\widehat{EBH}=\widehat{EDC}$
$\to \Delta EBH\sim\Delta EDC(g.g)$
$\to \dfrac{EH}{EC}==\dfrac{BH}{CD}$
$\to \dfrac{BH}{EH}=\dfrac{EC}{CD}$
Mà $\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{EC}{CD},HB=HC$
$\to \dfrac{DH}{HC}.\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{BD}{BE}.\dfrac{EC}{CD}$
$\to \dfrac{DH}{EH}=\dfrac{BD^2}{BE^2}$
$\to \dfrac{BD}{BE}=\sqrt{\dfrac{HD}{HE}}$
