Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì ΔAMN vuông tại A nên: `\hat{MAN} = 90^o` (1)
Vì AH là đường cao nên: `\hat{AHN} = \hat{AHM} = 90^o` (2)
Vì HE ⊥ AM tại E nên: `\hat{MEH} = \hat{AEH} = 90^o` (3)
Vì HF ⊥ AN tại F nên: `\hat{AFH} = \hat{HFN} = 90^o` (4)
a) Xét tứ giác AFHE có:
`\hat{MAN} = \hat{AEH} = \hat{AFH} = 90^o` (theo 1, 3, 4)
⇒ Tứ giác AFHE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (đpcm)
b) Xét ΔMHA vuông tại H(`\hat{AHN} = 90^o`), HE là đường cao:
AE×AM=AH² (5)
Xét ΔNHA vuông tại H(`\hat{AHM} = 90^o`), HF là đường cao:
AF×AN=AH² (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AE×AM = AF×AN (đpcm)
c) Vì AFHE là hình chữ nhật (cm phần a) nên:
AE = HF (7), EF = HA (8), EH // AF (9), AE // HF (10)
Xét ΔHNA và ΔFNH có:
`\hat{AHN} = \hat{HFN} = 90^o` (theo 2, 4)
Góc N chung
⇒ ΔHNA $\backsim$ ΔFNH (g.g)
⇒ $\frac{HN}{HA} = \frac{FN}{FH}$
⇒ NH×HF = HA×FN
⇒ NH×AE = EF×FN (đpcm 2)
