Giải thích các bước giải:
a,
Gọi \(y = a\,x + b\) là phương trình đường thẳng AB. Phương trình này đi qua A và B nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- 3a + b = 10\\
2a + b = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{7}{5}\\
b = \frac{{29}}{5}
\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình đường thẳng AB là \(y = - \frac{7}{5}x + \frac{{29}}{5}\)
M là trung điểm BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 1\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;\frac{7}{2}} \right)\)
Gọi \(y = c\,x + d\) là phương trình đường thẳng AM. Phương trình này đi qua A và M nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- 3c + d = 10\\
c + d = \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = - \frac{{13}}{8}\\
d = \frac{{41}}{8}
\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình đường thẳng AM là \(y = - \frac{13}{8}x + \frac{{41}}{8}\)
Gọi \(y = m\,x + n\) là phương trình đường thẳng BC. Phương trình này đi qua B và C nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2m + n = 3\\
0m + n = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
n = 4
\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình đường thẳng BC là \(y = - \frac{1}{2}x + 4\)
Gọi \(y = p\,x + q\) là phương trình đường cao AH.
\(AH \bot BC \Rightarrow m.p = - 1 \Leftrightarrow p.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow p = 2\)
Mà AH đi qua A nên \(\left( { - 3} \right).p + q = 10 \Leftrightarrow q = 16\)
Suy ra phương trình đường cao AH là \(y = 2x + 16\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {5; - 7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} = \sqrt {74} \\
\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} = \sqrt 5 \\
\overrightarrow {CA} = \left( { - 3;6} \right) \Rightarrow CA = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {6^2}} = 3\sqrt 5 \\
p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{\sqrt {74} + 4\sqrt 5 }}{2}\\
{S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} = \frac{9}{2}
\end{array}\)
