Giải thích các bước giải:
$\left\{\begin{matrix}\left ( m - 1 \right )x + y = 2 (1)\\ x + 2y = 2 (2)\end{matrix}\right.$
Từ $(1)$ suy ra $y = 2 - \left ( m - 1 \right )x$, thay vào $(2)$ ta có:
$x + 2\left [ 2 - \left ( m - 1 \right )x \right ] = 2$
$x + 2\left [ 2 - \left ( mx - x \right ) \right ] = 2$
$\Leftrightarrow x + 2\left ( 2 - mx + x \right ) = 2$
$\Leftrightarrow x + 4 - 2mx + 2x = 2$
$\Leftrightarrow 3x - 2mx = -2$
$\Leftrightarrow \left ( 3 - 2m \right )x = -2$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{2m - 3} \left ( * \right )$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left ( * \right )$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{2}{2m - 3}$
Khi đó $y = 2 - \left ( m - 1 \right )x = 2 - \left ( m - 1 \right ).\dfrac{2}{2m - 3} = 2 - \dfrac{2m - 2}{2m - 3} = \dfrac{2\left ( 2m - 3 \right ) - \left ( 2m - 2 \right )}{2m - 3} = \dfrac{4m - 6 - 2m + 2}{2m - 3} = \dfrac{2m - 4}{2m - 3} = \dfrac{2m - 3 - 1}{2m - 3} = 1 - \dfrac{1}{2m - 3}$
Do đó:
$x$ nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{2}{2m - 3}$ nguyên
$\Leftrightarrow 2 \vdots 2m - 3$
$\Leftrightarrow 2m - 3 \in Ư(2)$
$\Leftrightarrow 2m - 3 \in \left \{ -2; -1; 1; 2 \right \}$
$\Leftrightarrow m \in \left \{ 1; 2 \right \} \left ( 1 \right )$
$y$ nguyên $\Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2m - 3}$ nguyên
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2m - 3}$ nguyên
$\Leftrightarrow 1 \vdots 2m - 3$
$\Leftrightarrow 2m - 3 \in Ư(1)$
$\Leftrightarrow 2m - 3 \in \left \{ -1; 1 \right \}$
$\Leftrightarrow m \in \left \{ 2; 1 \right \} \left ( 2 \right )$
Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra $m \in \left \{ 1; 2 \right \}$ thì hệ phương trình có nghiệm $\left ( x; y \right )$ trong đó $x, y$ là các số nguyên.
