Đáp án:
$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $MC'\cap BC =\{I\}$
$DI\cap AB =\{K\}$
$\to (MDC')$ cắt hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bởi thiết diện $MKDC'$
Ta có:
$+)\quad BM = MB'=\dfrac12BB'$
$\to \dfrac{BM}{BB'}=\dfrac12$
$\to \dfrac{BM}{CC'}=\dfrac12$
$+)\quad BB'//CC'$
$\to BM//CC'$
$\to \dfrac{IB}{IC}=\dfrac{BM}{CC'}=\dfrac12$ (Theo định lý $Thales$)
$+)\quad AB//CD$
$\to BK//CD$
$\to \dfrac{BK}{CD}=\dfrac{IB}{IC}=\dfrac12$ (Theo định lý $Thales$)
$\to BK=\dfrac12CD$
$\to BK =\dfrac12AB$
Thể tích $V_1$ của khối đa diện $BKDCC'M$ chứa đỉnh $C$ bao gồm thể tích của khối chóp tứ giác $M.BKDC$ và khối chóp tam giác $M.DCC'$
+) Thể tích khối chóp $M.BKDC$
$\quad V_{M.BKDC}=\dfrac13S_{BKDC}.MB$
$\to V_{M.BKDC}= \dfrac16(BK+CD).BC.MB$
$\to V_{M.BKDC}=\dfrac16\left(\dfrac12AB + CD\right)\cdot BC \cdot \dfrac12BB'$
$\to V_{M.BKDC}=\dfrac16\cdot \dfrac32AB\cdot BC \cdot \dfrac12BB'$
$\to V_{M.BKDC}=\dfrac18AB.BC.BB'$
$\to V_{M.BKDC}= \dfrac18V_{ABCD.A'B'C'D'}$
+) Thể tích khối chóp $M.DCC'$
$\quad V_{M.DCC'}=\dfrac13S_{DCC'}.d(M;(DCC'))$
$\to V_{M.DCC'}=\dfrac13\cdot \dfrac12S_{DCC'D'}.BC$
$\to V_{M.DCC'}= \dfrac16S_{DCC'D'}.BC$
$\to V_{M.DCC'}= \dfrac16V_{ABCD.A'B'C'D'}$
+) Thể tích khối đa diện chứa đỉnh $C$
$\quad V_1 = V_{M.BKDC}+ V_{M.DCC'}$
$\to V_1= \dfrac18V_{ABCD.A'B'C'D'} + \dfrac16V_{ABCD.A'B'C'D'}$
$\to V_1 = \dfrac{7}{24}V_{ABCD.A'B'C'D'}$
$\to V_2 =\dfrac{17}{24}V_{ABCD.A'B'C'D'}$
$\to \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$
