Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{A}$
$(I_a)$ tiếp xúc với $AB,AC,BC$ lần lượt tại $D,E,F$
$\Rightarrow I_aD\perp AB;\, I_aE \perp AC;\, I_aF \perp BC$
Ta có:
$S_{ABC} = S_{ABI_a} + S_{ACI_a} - S_{BCI_a}$
$\Leftrightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.I_aD + \dfrac{1}{2}AC.I_aE - \dfrac{1}{2}BC.I_aF$
$\Leftrightarrow 2S = c.r_a + b.r_a - a.r_a$
$\Leftrightarrow r_a = \dfrac{2S}{b+ c - a}$ $(1)$
Mặt khác:
$AI_a$ là phân giác của $\widehat{A}$
$\Rightarrow \widehat{BAI_a} = \widehat{CAI_a} = \dfrac{\widehat{A}}{2}$
Ta có:
$\tan\widehat{BAI_a} = \dfrac{I_aD}{AD} \Rightarrow I_aD = AD.\tan\widehat{BAI_a}$
$\tan\widehat{CAI_a} = \dfrac{I_aE}{AE} \Rightarrow I_aE = AE.\tan\widehat{CAI_a}$
$\Rightarrow I_aD + I_aE = AD.\tan\widehat{BAI_a} + AE.\tan\widehat{CAI_a}$
$\Leftrightarrow 2r_a = AD.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2} + AE.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2}$
$\Leftrightarrow r_a = \dfrac{AD + AE}{2}.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2}$
Ta lại có:
$AD = AB + BD = AB + BF$ ($BD,BF$ là tiếp tuyến của $(I_a)$ tại $D,F$)
$AE = AC + CE = AC + CF$ ($CE,CF$ là tiếp tuyến của $(I_a)$ tại $E,F$)
$\Rightarrow AD + AE = AB + BF + AC + CF = AB + AC + BC$
Do đó:
$r_a = \dfrac{AB + AC + BC}{2}.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2}$
hay $r_a =p.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2}$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow r_a = \dfrac{2S}{b+ c - a} = p.\tan\dfrac{\widehat{A}}{2}$
