a) Ta có:
$CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,M$
$\Rightarrow CA = CM$
Lại có: $OA = OM =R$
$\Rightarrow OC$ là trung trực của $AM$
$\Rightarrow OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$
$\Rightarrow \widehat{COM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$
$\Rightarrow \widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}(\widehat{AOM} + \widehat{BOM}) = \dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$
Vậy $\widehat{COD} = 90^o$
b) Như đã lập luận ở câu a. Ta có:
$CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,M$
$\Rightarrow CA = CM$
$DB, DM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,M$
$\Rightarrow DB = DM$
$\Rightarrow CM + DM = CA + DB$
$\Rightarrow CD = AC + BD$
c) Ta có:
$OM\perp CD$ ($CD$ là tiếp tuyến)
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔCOD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:
$OM^2 = CM.DM$
mà $CM = CA; \, DM = BD$
nên $OM^2 = AC.BD$
hay $R^2 = AC.BD$ (không đổi)
Vậy tích $AC.BD$ không đổi khi $M$ đi chuyển trên nửa đường tròn
