a) Xét tứ giác ABHD có:
ˆBAD=ˆADH=ˆBHD=90độ (gt)
⇒ABHD là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Lại có AB=ADAB=AD nên ABHDABHD là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).
b) ABHD là hình vuông nên ˆABH=90 độ
Xét ΔABMΔABM và ΔCMHΔCMH có:
ˆABM=ˆCHM=90độ
BM=HM(gt)
AB=HC=12CD
⇒ΔABM=ΔCHM(g.c.g)
⇒AM=CM (2 cạnh tương ứng).
Mà A, M, C thẳng hàng.
Vậy M là trung điểm của AC.
c) ΔABM=ΔCHM(cmt)
⇒ˆBAM=ˆHCM (2 góc tương ứng) (1)
Ta có: {ˆBAM+ˆMAD=90độ
ˆADP+ˆMAD=900
⇒ˆBAM=ˆADP (2)
Xét tam giác CDM có:
Đường cao MH đồng thời là trung tuyến nên ΔCDM cân tại M
⇒ˆHCM=ˆHDM (2 góc ở đáy) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆADP=ˆHDM
Xét ΔADPvà ΔHDQ có:
ˆADP=ˆHDM(cmt)
AD=HD (do ABHD là hình vuông).
ˆDAP=ˆDHQ=45độ (do ABHD là hình vuông).
⇒ΔADP=ΔHDQ(g.c.g)
d) Xét ΔABP và ΔHDQ có:
AB=HD(do ABHD là hình vuông)
AP=HQ (do ΔADP=ΔHDQ)
ˆBAP=ˆDHQ (so le trong do AB∥HD)
⇒ΔABP=ΔHDQ(c.g.c)
⇒BP=DQ
Chứng minh tương tự ΔADP=ΔHBQ⇒DP=BQ
⇒DPBQ là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau).
Mà DP=DQ (do ΔADP=ΔHDQ(cmt))
Vậy BPDQ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).
