Bài 1:
Đặt $AB=5x; AC=7x(cm)$ $x>0$
Theo hệ thức lượng:
$\dfrac{1}{(5x)^2}+\dfrac{1}{(7x)^2}=\dfrac{1}{15^2}$
$\to x=\dfrac{3\sqrt{74}}{7}$ (TM)
$\to AB=5x=\dfrac{15\sqrt{74}}{7}(cm); AC=7x=3\sqrt{74}(cm)$
Vậy: $HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{75}{7}(cm)$
$HC=\sqrt{AC^2-HA^2}=21(cm)$
Bài 2:
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20(cm)$
Theo hệ thức lượng:
$HB=\dfrac{AB^2}{BC}=7,2(cm)$
$HC=\dfrac{AC^2}{BC}=12,8(cm)$
$AD$ là phân giác nên ta có:
$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}$
Đặt $BD=3k; DC=4k(cm)$ ($k>0$)
$\to 3k+4k=BC=20$
$\to k=\dfrac{20}{7}$ (TM)
$\to HD=BD-HB=3k-7,2=\dfrac{48}{35}(cm)$
Bài 3:
Đặt $HB=x; HC=4x(cm)$ ($x>0$)
Theo hệ thức lượng:
$x.4x=14^2$
$\to x=7$ (TM)
$\to HB=7(cm); HC=28(cm)$
$BC=BH+HC=35(cm)$
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=7\sqrt5(cm)$
$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=14\sqrt5(cm)$
Vậy chu vi $\Delta ABC$ là $AB+BC+AC=21\sqrt5+35(cm)$
Bài 4:
Theo hệ thức lượng:
$AB^2=BH.BC=BC(BC-HC)$
$\to BC(BC-9)=20^2$
$\to BC^2-9BC-400=0$
$\to BC=25(cm)$ do $BC>0$
$HB=BC-HC= 16(cm)$
Vậy $AH=\sqrt{HB.HC}= 12(cm)$
