Đáp án:

`a,`

Xét `ΔMNH` và `ΔKNH` có :

`MH = MK` (giả thiết)

`NH` chung

`hat{MHN} = hat{KHN} = 90^o`

`-> ΔMNH = ΔKNH` (cạnh - góc - cạnh)

`-> MN = MK` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔMNK` cân tại `N`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔMNP` có :

`hat{M} + hat{N} + hat{P} = 180^o`

`-> hat{M} = 180^o - 90^o - 30^o`

`-> hat{M} = 60^o`

mà `ΔMNK` cân tại `N`

`-> ΔMNK` đều

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔMNK` đều

`-> hat{MNK} = 60^o`

Ta có : `hat{KNP} + hat{MNK} = 90^o`

`-> hat{KNP} = 90^o - 60^o`

`-> hat{KNP} = 30^o`

mà `hat{KPN} = 30^o`

`-> ΔKNP` cân tại `K`

`-> NK = KP`

$\\$

Xét `ΔNHK` vuông tại `H` có :

`NK` là cạnh lớn nhất

`->NK > NH`

mà `NK = KP`

`-> NH < KP`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔNHK` và `ΔPEK` có :

`hat{NHK} = hat{PEK} = 90^o`

`NK = PK` (Vì `ΔNKP` cân tại `K`)

`hat{HKN} = hat{EKP}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔNHK = ΔPEK` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> NH = EP` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔNQP` có :

`PH` là đường cao

`NE` là đường cao

`PH` cắt `NE` tại `K`

`-> K` là trực tâm của `ΔNQP`

`-> QK` là đường cao

`-> QK⊥NP`

$\\$

$\\$

$d,$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔNHP` có :

`hat{NHP} + hat{HPN} + hat{QNP} = 180^o`

`-> hat{QNP} = 180^o - 30^o - 90^o`

`-> hat{QNP} = 60^o`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `ΔEPN` có :

`hat{E} + hat{EPN} + hat{QPN} = 180^o`

`-> hat{QPN} = 180^o - 30^o - 60^o`

`-> hat{QPN} = 60^o`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔNQP` có :

`hat{QNP} + hat{QPN} + hat{NQP} = 180^o`

`-> hat{NQP} = 180^o - 60^o - 60^o`

`-> hat{NQP} = 60^o`

$\\$

Xét `ΔNQP` có :

`hat{QNP} = 60^o,hat{QPN}=60^o,hat{NQP}=60^o`

`-> hat{QNP} = hat{QPN} = hat{NQP} = 60^o`

`-> ΔQNP` đều

mà `K` là trực tâm của `ΔQNP`

`-> K` là trọng tâm của `ΔQNP`

`-> HK = 1/3 HP`

`-> HP = 3HK`

mà `HK = HM` (giả thiết)

`-> HP = 3 HM`