Bài 10:
$A = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{4 - x^{2}}}[\sqrt{(2 + x)^{3}} - \sqrt{(2 - x)^{3}}]}{4 + \sqrt{4 - x^{2}}}; (-2 ≤ x ≤ 2)$
+ Đặt: $a = \sqrt{2 + x}$; $b = \sqrt{2 - x}$ $(a, b ≥ 0)$.
⇒ $a^{2} + b^{2} = 4$; $a^{2} - b^{2} = 2x$.
⇒ $A = \frac{\sqrt{2 + ab}(a^{3} - b^{3})}{4 + ab} = \frac{\sqrt{2 + ab}(a - b)(a^{2} - b^{2} + 2ab)}{4 + ab}$
⇒ $A = \frac{\sqrt{2 + ab}(a - b)(4 + ab)}{4 + ab} = \sqrt{2 + ab}(a - b)$
⇒ $A \sqrt {2} = \sqrt {4 + 2ab}(a - b) $
⇒ $A \sqrt {2} = \sqrt {(a^{2} + b^{2} + 2ab}(a - b) = (a + b)(a - b)$
⇒ $A \sqrt {2} = a^{2} - b^{2} = 2x$
⇒ $A = x \sqrt {2}$
Bài 11:
$\sqrt {x^{2} + \sqrt[3]{x^{4}y^{2}}} + \sqrt {y^{2} + \sqrt[3]{x^{2}y^{4}}} = a$; $\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = \sqrt[3]{a^{2}}$.
+ Đặt: $\sqrt[3]{x} = \sqrt {b} > 0$ và $\sqrt[3]{y} = \sqrt {c} > 0$.
+ Ta có: $x^{2} = b^{3}$ và $y^{2} = c^{3}$.
+ Thay vào gt, ta được: $\sqrt {b^{3} + b^{2}c} + \sqrt {c^{3} + bc^{2}} = a$
⇒$a^{2} = b^{3} + b^{2}c + c^{3} + bc^{2} + 2 \sqrt {b^{2}c^{2} + (b + c)^{2}}$
+ $a^{2} = (b + c)^{3}$ ⇒ $\sqrt[3]{a^{2}} = b + c$ hay $\sqrt[3]{x{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = \sqrt[3]{a^{2}}$ (đpcm).
