Đáp án:
$d(BD;SA) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}BD\perp AO\quad (BD\perp AC)\\SO\perp BD\quad (SO\perp (ABCD))\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SOA)$
Trong $mp(SOA)$ kẻ $OH\perp SA$
$\Rightarrow BD\perp OH$
Khi đó:
$\begin{cases}OH\perp SA\quad \text{(cách dựng)}\\OH\perp BD\quad (cmt)\end{cases}$
$\Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SA$
$\Rightarrow OH = d(BD;SA)$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+)\quad AB^2 = OA^2 + OB^2$
$\Rightarrow OA^2 = AB^2 - OB^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{3}$
$\Rightarrow OA = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
$+)\quad SB^2 = SO^2 + OB^2$
$\Rightarrow SO^2 = SB^2 - OB^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{3}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
$\Rightarrow SO = OA$
$\Rightarrow \triangle SOA$ vuông cân tại $O$
$\Rightarrow OH = \dfrac12SA = \dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt6}{3}\cdot \sqrt2$
$\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Vậy $d(BD;SA) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
