Đáp án:
$25. \, B$
$26. \, D$
$27. \, B$
Giải thích các bước giải:
Câu 25:
$y = \dfrac{x +1}{x^3 - 3x^2 - m}$
Đồ thị có đúng một tiệm cận đứng
$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 - m = 0 \,(*)$ có có đúng một nghiệm
$(*) \Leftrightarrow m = x^3 - 3x^2$
Xét $f(x) = x^3 - 3x^2$
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$
Bảng biến thiên của $f(x):$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & && 2 & && & +\infty\\
\hline
y' & & + & 0& &-&& 0&& - &&\\
\hline
&&&0&&&&&&&&+\infty\\
y & &\nearrow&&&\searrow&&&&\nearrow&\\
&-\infty&&&&&&-4&&\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, $(*)$ có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m < -4\\m > 0\end{array}\right.$
$\Rightarrow \text{Chọn đáp án C}$
Câu 26:
$y = \dfrac{x-1}{x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 2}$
Đồ thị có hai tiệm cận đứng
$\Leftrightarrow x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 2 = 0 \, (*)$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}' > 0$
$\Leftrightarrow (m - 1)^2 - (m^2 - 2) > 0$
$\Leftrightarrow -2m + 3 > 0$
$\Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}$
$\Rightarrow \text{Chọn đáp án D}$
Câu 27:
$y = \dfrac{x + 1}{\sqrt{mx^2 +1}}$
$\lim_{x \to + \infty}y = \lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{x + 1}{\sqrt{mx^2 +1}}\right) = \lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{\sqrt{m +\dfrac{1}{x^2}}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{m}}$
$\lim_{x \to - \infty}y = \lim_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x + 1}{\sqrt{mx^2 +1}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)}{|x|\sqrt{m +\dfrac{1}{x^2}}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\dfrac{-1 - \dfrac{1}{x}}{\sqrt{m+\dfrac{1}{x^2}}}\right) =\dfrac{-1}{\sqrt{m}}$
Với $m > 0 \Rightarrow$ đồ thị có 2 tiệm cận ngang
Với $m = 0 \Rightarrow y = x + 1 \Rightarrow$ đồ thị không có tiệm cận ngang
Với $m < 0 \Rightarrow \not \exists \dfrac{1}{\sqrt{m}} \Rightarrow$ đồ thị không có tiệm cận ngang
Vậy $m > 0$
$\Rightarrow \text{Chọn đáp án B}$
