a) Ta có:
$\widehat{BAC}=60^o$
$\Rightarrow BC = AB.\tan60^o = a\sqrt3;\, AC = \dfrac{AB}{\cos60^o}=2a$
Ta lại có:
$SA\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SA\perp AC$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$SC^2 = SA^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC =\sqrt{SC^2 - AC^2}=\sqrt{8a^2 - 4a^2}= 2a$
Do đó:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA =\dfrac{1}{3}.a.a\sqrt3.2a = \dfrac{2a^3\sqrt3}{3}$
b) Ta có:
$OA = OC$
$IA = IB$
$\Rightarrow OI//BC$
$\Rightarrow OI//(SBC)$
$\Rightarrow d(O;(SBC))=d(I;(SBC))$
Mặt khác:
$CB\perp AB$
$SA\perp CB\quad (SA\perp (ABCD))$
$\Rightarrow CB\perp (SAB)$
Từ $A$ kẻ $AK\perp SB$
$\Rightarrow CB\perp AK$
$\Rightarrow AK\perp (SCB)$
$\Rightarrow AK = d(A;(SCB))$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}$
$\Rightarrow AK =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{a^2 + 4a^2}}=\dfrac{2a\sqrt5}{5}$
Từ $I$ kẻ $IH\perp SB$
$\Rightarrow IH//AK$
$\Rightarrow IH=d(I;(SBC))$
Ta lại có: $IA = IB=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow IH =\dfrac{1}{2}AK$
$\Rightarrow IH = \dfrac{a\sqrt5}{5}$
Vậy $d(O;(SBC))=\dfrac{a\sqrt5}{5}$
