Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
8,\\
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + .... + \left( {2n - 1} \right) - 2n\\
= \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + .... + \left( { - 1} \right)\\
= \left( { - 1} \right).n = - n\\
\Rightarrow \lim \frac{{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + \left( {2n - 1} \right) - 2n}}{{2n + 1}}\\
= \lim \frac{{ - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{ - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}\\
9,\\
\lim \frac{{1 + a + {a^2} + {a^3} + .... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + {b^3} + .... + {b^n}}}\\
= \lim \frac{{\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}}}{{\frac{{{b^{n + 1}} - 1}}{{b - 1}}}}\\
= \lim \left( {\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}:\frac{{{b^{n + 1}} - 1}}{{b - 1}}} \right)\\
= \lim \left( {\frac{{b - 1}}{{a - 1}}.\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}}} \right)\\
a < b \Rightarrow \lim \frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}} = 0 \Rightarrow \lim \left( {\frac{{b - 1}}{{a - 1}}.\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}}} \right) = 0\\
a > b \Rightarrow \lim \frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}} = + \infty \Rightarrow \lim \left( {\frac{{b - 1}}{{a - 1}}.\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}}} \right) = \infty
\end{array}\)
