Đáp án:
$A.\,-\dfrac{\pi^2}{8}$
Giải thích các bước giải:
$\cot^2x - (\sqrt3 +1)\cot x + \sqrt3=0\quad (*)$
$ĐKXĐ:\, x\ne n\pi$
$(*)\Leftrightarrow (\cot x - 1)(\cot x -\sqrt3) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cot x = 1\\\cot x = \sqrt3\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$
+) Với $k = 0$ ta được:
$\left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{4}\\x = \dfrac{\pi}{6}\end{array}\right.$
$\Rightarrow x =\dfrac{\pi}{6} =\alpha$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
+) Với $k = -1$ ta được:
$\left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{3\pi}{4}\\x = -\dfrac{5\pi}{6}\end{array}\right.$
$\Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4} = \beta$ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình
$\Rightarrow \alpha\beta = \dfrac{\pi}{6}\cdot\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)= -\dfrac{\pi^2}{8}$
