Đáp án:
Giải thích các bước giải:
4) a) Dễ em tự làm cho quen
b) $MB$ là tiếp tuyến của $(O) ⇒ ∠MBN = ∠BCN$ ( cùng chắn cung $BN$)
$ ⇒ ΔBMN $ đồng dạng $ΔCMB (g.g)$ ( chung góc $M$)
$ ⇒ \dfrac{MB}{MN} = \dfrac{MC}{MB} ⇔ MB² = MN.MC (1)(đpcm)$
c) Theo $GT : MA = MB (2)$
$ (1); (2) ⇒ MA² = MN.MC ⇔ \dfrac{MA}{MN} = \dfrac{MC}{MA}$
$ ⇒ ΔAMN $ đồng dạng $ΔCMA $ ( chung góc $M$ xen giữa cặp cạnh tỷ lệ)
$ ⇒ ∠MAN = ∠MCN = ∠ADC (đpcm) $( cùng chắn cung $CN$ của $(O)$)
5) Áp dụng cô si cho 2 bộ 3 số $(x; y; z); (\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}) > 0$
$(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz}).(\sqrt[3]{(\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}) = 3.3 = 9$
Thay với $ x = 2a + b + c; y = 2b + c + a; z = 2c + a + b$
$(4a + 4b + 4c)(\dfrac{1}{2a + b + c} + \dfrac{1}{2b + c + a} + \dfrac{1}{2c + a + b}) ≥ 9$
$⇔ (a + b + c)(\dfrac{1}{2a + b + c} + \dfrac{1}{2b + c + a} + \dfrac{1}{2c + a + b}) ≥ \dfrac{9}{4}$
$ ⇔ \dfrac{a + b + c}{2a + b + c} + \dfrac{a + b + c}{2b + c + a} + \dfrac{a + b + c}{2c + a + b}) ≥ \dfrac{9}{4}$
$ ⇔ \dfrac{(2a + b + c) - a}{2a + b + c} + \dfrac{(2b + c + a) - b}{2b + c + a} + \dfrac{(2c + a + b) - c}{2c + a + b}) ≥ \dfrac{9}{4}$
$ ⇔ 3 - (\dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c + a} + \dfrac{c}{2c + a + b}) ≥ \dfrac{9}{4}$
$ ⇔ \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c + a} + \dfrac{c}{2c + a + b} ≤ \dfrac{3}{4} (đpcm)$
Dấu $ '=' ⇔ 2a + b + c = 2b + c + a = 2c + a + b ⇔ a = b = c$
