\(\begin{array}{l}
a)\quad y' = \dfrac{xy + 3x}{x^2 + 1}\\
\Leftrightarrow (x^2 + 1)y' = x(y+3)\\
\Leftrightarrow \dfrac{y'}{y+3} = \dfrac{x}{x^2+ 1}\\
\Leftrightarrow \ln(y+3) = \dfrac12\ln(x^2 + 1) + C\\
\Leftrightarrow \ln(y+3) = \ln\sqrt{x^2 + 1} + C\\
\Leftrightarrow y + 3 = e^{\ln\sqrt{x^2 + 1} + C}\\
\Leftrightarrow y + 3 = e^{\ln\sqrt{x^2 + 1}}.e^C\\
\Leftrightarrow y + 3 = C_1\sqrt{x^2 + 1}\\
\Leftrightarrow y = C_1\sqrt{x^2 + 1} - 3\\
b)\quad y' + \dfrac{3}{x}y = \dfrac{2}{x^3}\qquad (*)\\
\text{Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:}\\
\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{3}{x}dx}\\
\Leftrightarrow y = C.e^{-3\ln x}\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{C}{x^3}\\
\text{Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:}\\
\quad y= \dfrac{C(x)}{x^3}\\
\Rightarrow y' = \dfrac{C'(x)}{x^3} - \dfrac{3C(x)}{x^4}\\
\text{Thay vào $(*)$ ta được:}\\
\quad \dfrac{C'(x)}{x^3} - \dfrac{3C(x)}{x^4} + \dfrac3x\cdot \dfrac{C(x)}{x^3} = \dfrac{2}{x^3}\\
\Leftrightarrow C'(x) = 2\\
\Leftrightarrow C(x) = 2x + C_1\\
\text{Vậy}\ y = \dfrac{2x + C_1}{x^3} = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{C_1}{x^3}
\end{array}\)
