Đáp án:
\[x = \dfrac{{25}}{9};\,\,\,y = \dfrac{{13}}{4}\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
y > - 3
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }} + \dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }} = 44 - 9\sqrt {x - 1} - 4\sqrt {y + 3} \\
\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }} + 9\sqrt {x - 1} } \right) + \left( {\dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }} + 4\sqrt {y + 3} } \right) = 44
\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }} + 9\sqrt {x - 1} \ge 2\sqrt {\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }}.9\sqrt {x - 1} } = 2\sqrt {144} = 2.12 = 24\\
\dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }} + 4\sqrt {y + 3} \ge 2\sqrt {\dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }}.4\sqrt {y + 3} } = 2.\sqrt {100} = 2.10 = 20\\
\Rightarrow VT = \left( {\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }} + 9\sqrt {x - 1} } \right) + \left( {\dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }} + 4\sqrt {y + 3} } \right) \ge 24 + 20 = 44 = VP
\end{array}\)
Từ giả thiết suy ra các dấu '=' ở trên phải xảy ra.
Do đó,
\(\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{16}}{{\sqrt {x - 1} }} = 9\sqrt {x - 1} \\
\dfrac{{25}}{{\sqrt {y + 3} }} = 4\sqrt {y + 3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
16 = 9{\sqrt {x - 1} ^2}\\
25 = 4{\sqrt {y + 3} ^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = \dfrac{{16}}{9}\\
y + 3 = \dfrac{{25}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{25}}{9}\\
y = \dfrac{{13}}{4}
\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \dfrac{{25}}{9};\,\,\,y = \dfrac{{13}}{4}\)
