Giải thích các bước giải:
a.Ta có $ABCD$ là hình vuông
$\to AD//BC, AD=BC$
Mà $M,N$ là trung điểm $AD,BC$
$\to DM=\dfrac12AB=\dfrac12BC=BN, DM//BN$
$\to BMDN$ là hình bình hành
b.Xét $\Delta ADP,\Delta DCN$ có:
$AD=CD$
$\widehat{ADP}=\widehat{DCN}=90^o$
$DP=\dfrac12DC=\dfrac12BC=CN$
$\to\Delta ADP=\Delta DCN(c.g.c)$
$\to \widehat{DAP}=\widehat{NDC}$
$\to \widehat{DAP}=\widehat{KDP}$
Mà $\widehat{KPD}=\widehat{APD}$
$\to\Delta PDK\sim\Delta PAD(g.g)$
$\to\widehat{DKP}=\widehat{ADP}=90^o$
$\to DN\perp AP$
c.Vì $BMDN$ là hình bình hành
$\to BM//DN\to BM//KN, BM\perp AP$
Gọi $BM\cap AK=E$
$\to BM\perp AK=E$
Lại có $ME//DN,M$ là trung điểm $AD\to ME $là đường trung bình $\Delta ADK$
$\to E$ là trung điểm $AK$
$\to BM\perp AK=E$ là trung điểm $KA$
$\to BM$ là trung trực ucar $AK$
$\to BK=BA=MN$
$\to BMKN$ là hình thang cân
d.Ta có:
$AB=\sqrt{5}\to AD=DC=DB=BA=\sqrt{5}$
Vì $P$ là trung điểm $CD\to DP=\dfrac12CD=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\to S_{ADP}=\dfrac12DA\cdot DP=\dfrac54$
Ta có: $AP=\sqrt{AD^2+DP^2}=\dfrac52$
Xét $\Delta ADK,\Delta ADP$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AKD}=\widehat{ADP}=90^o$
$\to\Delta ADK\sim\Delta APD(g.g)$
$\to \dfrac{S_{AKD}}{S_{APD}}=(\dfrac{AD}{AP})^2=\dfrac45$
$\to S_{AKD}=\dfrac45S_{APD}$
$\to S_{AKD}=1$
$\to S_{MKD}=\dfrac12S_{KAD}=\dfrac12$ vì $M$ là trung điểm $AD$
