CMR với mọi số nguyên n thì A = $n^{4}$ - $2n^{3}$ - $n^{2}$ + 2n ⋮ 24
Có: $n^{4}$ - $2n^{3}$ - $n^{2}$ + 2n
= ($n^{4}$ - $n^{2}$) - ($2n^{3}$ - 2n)
= $n^{2}$($n^{2}$ - 1) - 2n($n^{2}$ - 1)
= ($n^{2}$ - 2n) ($n^{2}$ - 1)
= (n + 1).n(n-1)(n - 2)
Mà (n + 1).n(n-1)(n - 2) là 4 số nguyên liên tiếp
⇒ Trong biểu thức A có một số chia hết cho 2, có ít nhất một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 4.
⇒ (n + 1).n(n-1)(n - 2) ⋮ 2 . 3 . 4
⇔ (n + 1).n(n-1)(n - 2) ⋮ 24
Vậy A = $n^{4}$ - $2n^{3}$ - $n^{2}$ + 2n ⋮ 24 (đpcm)
