Đáp án:
$C.\ \dfrac{4\sqrt{87}a}{29}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $HA = HB =\dfrac12AB = a$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$+)\quad BC^2 = AB^2 + BC^2 = 4a^2 + 3a^2 = 7a^2$
$\Rightarrow BC = a\sqrt7$
$+)\quad HC^2 = AH^2 + AC^2= a^2 + 3a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow HC = 2a$
Ta có:
$SH\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABC))}=\widehat{SCH}= 60^\circ$
$\Rightarrow SH = HC.\tan60^\circ = 2a\sqrt3$
Từ $A$ kẻ $AM\perp BC$
$\Rightarrow AM =\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2a.a\sqrt3}{a\sqrt7}$
$\Rightarrow AM = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
Từ $H$ kẻ $HN\perp BC$
$\Rightarrow HN//AM$
mà $HA = HB =\dfrac12AB$
nên $HN =\dfrac12AM= \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Ta có:
$\begin{cases}HN\perp BC\\SH\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SHN)$
Trong $mp(SHN)$ kẻ $HK\perp SN$
$\Rightarrow BC\perp HK$
$\Rightarrow HK\perp (SBC)$
$\Rightarrow HK = d(H;(SBC))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHN$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HN^2}$
$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HN}{\sqrt{SH^2 + HN^2}}=\dfrac{2a\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{7}}{\sqrt{12a^2 + \dfrac{3a^2}{7}}}$
$\Rightarrow HK = \dfrac{2a\sqrt{87}}{29}$
$\Rightarrow d(H;(SBC))= \dfrac{2a\sqrt{87}}{29}$
Do $HA = HB =\dfrac12AB$
nên $d(H;(SBC))=\dfrac12d(A;(SBC))$
$\Rightarrow d(A;(SBC))= \dfrac{4a\sqrt{87}}{29}$
