Đáp án:
a) Với $m=-2$ phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$
b)
+) Nếu $m>6$ hoặc $m<-2$ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt
+) Nếu $m \in \left\{ { - 2;6} \right\}$ phương trình có nghiệm kép.
+) Nếu $-2<m<6$ thì phương trình vô nghiệm.
c) $x_1^2 + x_2^2 = {m^2} - 2m - 6;x_1^3 + x_2^3 = {m^3} + 6{m^2} + 18m + 27$
d) $m = 1 - \sqrt {17} $
e) $\not \exists m$
f) Phương trình có nghiệm kép $x=-3$
g) $m\ge 6$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình ${x^2} + mx + m + 3 = 0\left( 1 \right)$
a) Với $m=-2$ phương trình $(1)$ trở thành:
${x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy với $m=-2$ phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$
b) Ta có:
$\Delta = {m^2} - 4.1.\left( {m + 3} \right) = {m^2} - 4m - 12$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
+ )\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
+ )\Delta = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 6\\
m = - 2
\end{array} \right.\\
+ )\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 6
\end{array}$
Vậy:
+) Nếu $m>6$ hoặc $m<-2$ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt
+) Nếu $m \in \left\{ { - 2;6} \right\}$ phương trình có nghiệm kép.
+) Nếu $-2<m<6$ thì phương trình vô nghiệm.
c) )Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 6\\
m \le - 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} = m + 3
\end{array} \right.$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
+ )x_1^2 + x_2^2\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
= {m^2} - 2\left( {m + 3} \right)\\
= {m^2} - 2m - 6\\
+ )x_1^3 + x_2^3\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
= {\left( {m + 3} \right)^3} - 3\left( {m + 3} \right)m\\
= {m^3} + 6{m^2} + 18m + 27
\end{array}$
Vậy $x_1^2 + x_2^2 = {m^2} - 2m - 6;x_1^3 + x_2^3 = {m^3} + 6{m^2} + 18m + 27$
d) Ta có:
$\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 = 10\\
\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 6 = 10\\
\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 16 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1 + \sqrt {17} \left( l \right)\\
m = 1 - \sqrt {17} \left( c \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m = 1 - \sqrt {17}
\end{array}$
Vậy $m = 1 - \sqrt {17} $
e) Ta có:
$\begin{array}{l}
2{x_1} + 3{x_2} = 5\\
\Rightarrow {x_1} = 3m - 5;{x_2} = 5 - 2m
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = m + 3\\
\Leftrightarrow \left( {3m - 5} \right)\left( {5 - 2m} \right) = m + 3\\
\Leftrightarrow 6{m^2} - 24m + 18 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( l \right)\\
m = 3\left( l \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \not \exists m
\end{array}$
Vậy $\not \exists m$ thỏa mãn
f) Ta có:
$-3$ là một nghiệm của $(1)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} + m.\left( { - 3} \right) + m + 3 = 0\\
\Leftrightarrow - 2m + 12 = 0\\
\Leftrightarrow m = 6
\end{array}$
Với $m=6$ phương trình $(1)$ trở thành: $x^2+6x+9=0 $ hay $(x+3)^2=0$
$\to $ Phương trình có nghiệm kép $x=-3$
Vậy phương trình có nghiệm kép $x=-3$
g) Ta có:
Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm cùng dấu dương
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 6\\
m \le - 2
\end{array} \right.\\
m > 0\\
m + 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 6\\
m \le - 2
\end{array} \right.\\
m > 0\\
m > - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 6$
Vậy $m\ge 6$ thỏa mãn đề
