a) Ta có: $IB = IC \, (gt)$
$IH = IM \, (gt)$
$I \in BC; \, I \in HM$
$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành
b) Do $BHCM$ là hình bình hành
nên $CH//BM$
mà $CH\perp AB \, (CE\perp AB)$
$\Rightarrow BM\perp AB$
c) Chứng minh tương tự câu b, ta được: $CM\perp AC \, (CM//BH)$
Xét tứ giác $ABKM$ có:
$\widehat{ABM} = 90^o \, (BM\perp AB)$
$\widehat{AKM} = 90^o \, (MK\perp AH)$
Do đó $ABKM$ nội tiếp
hay $A, B, K, M$ cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh tương tự, ta được: $ACMK$ nội tiếp
$\Rightarrow A, C, M, K$ cùng thuộc một đường tròn
Do đó $A, B, K, M, C$ cùng thuộc một đường tròn
Ta có: $\widehat{AKB} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn $\overparen{AB}$)
mà $\widehat{ABC} = \widehat{BHK}$ (cùng phụ $\widehat{DBC}$)
nên $\widehat{AKB} = \widehat{BHK}$
hay $\widehat{HKB} = \widehat{BHK}$
$\Rightarrow ΔBHK$ cân tại $B$
Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ và $BC$
Ta được $BN\perp HK$
mà $ΔBHK$ cân tại $B$ $(cmt)$
$\Rightarrow HN=NK$
$\Rightarrow K$ đối xứng với $H$ qua $BN$
hay $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$
d) $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$
$\Rightarrow BC$ là trung trực của $HK$
$\Rightarrow CH = CK$
mà $CH = MB$ ($BHCM$ là hình bình hành)
$\Rightarrow CK = MB$ $(1)$
Ta lại có: $MK//BC \, (\perp AH)$
$\Rightarrow MKBC$ là hình thang đáy $MK, \, BC$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow BKMC$ là hình thang cân
