Bài làm:
a) ĐKXĐ: a > 0
Ta có: M = $\frac{a^2+\sqrt[]{a}}{a-\sqrt[]{a}+1}$ + 1 - $\frac{2a+\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}}$
= $\frac{\sqrt[]{a}(\sqrt[]{a^3}+1)}{a-\sqrt[]{a}+1}$ + 1 - $\frac{\sqrt[]{a}(2\sqrt[]{a}+1)}{\sqrt[]{a}}$
= $\frac{\sqrt[]{a}(\sqrt[]{a}+1)(a-\sqrt[]{a}+1)}{a-\sqrt[]{a}+1}$ + 1 - (2$\sqrt[]{a}$ + 1)
= $\sqrt[]{a}$ ($\sqrt[]{a}$ + 1) + 1 - (2$\sqrt[]{a}$ + 1)
= a + $\sqrt[]{a}$ + 1 - 2$\sqrt[]{a}$ - 1 = a - $\sqrt[]{a}$
b) M = 2 ⇔ a - $\sqrt[]{a}$ = 2 ⇔ a - $\sqrt[]{a}$ - 2 = 0
Đặt $\sqrt[]{a}$ = t ( t≥0)
Phương trình trở thành: t² - t - 2 = 0
Ta thấy: a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0
⇒ Phương trình có nghiệm là $t_{1}$ = -1 và $t_{2}$ = 2
mà t≥0 ⇒ t = -1 không thỏa mãn
⇒ t = 2 ⇒ $\sqrt[]{a}$ = 2 ⇔ a = 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy với a=4 thì M=2
c) Ta có: M = a - $\sqrt[]{a}$ = a - 2.$\frac{1}{2}$ $\sqrt[]{a}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$
= $(\sqrt[]{a}-\frac{1}{2})^{2}$ - $\frac{1}{4}$
Với a > 0 thì $(\sqrt[]{a}-\frac{1}{2})^{2}$ ≥ 0
⇒ $(\sqrt[]{a}-\frac{1}{2})^{2}$ - $\frac{1}{4}$ ≥ $\frac{-1}{4}$
hay M $\geq$ $\frac{-1}{4}$
Dấu " = " xảy ra ⇔ $\sqrt[]{a}$ - $\frac{1}{2}$ = 0 ⇔ $\sqrt[]{a}$ = $\frac{1}{2}$
⇔ a = $\frac{1}{4}$ ( thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy minM = $\frac{-1}{4}$ ⇔ a = $\frac{1}{4}$
