b) Gọi I là trung điểm AC.
Xét ∆AHC có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra AI = IH = IC
Tương tự, ∆AEC vuông tại E có trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IA = IC = IE
Mà AHEC là tứ giác nội tiếo đường tròn
Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC, đường kính AC
Mà AB vuông góc AC
Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn.
c) Tam giác ABD có AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ABD vân tại A
Suy ra góc BAH = góc HAD
Ta có góc BCA = góc HAB (Cùng phụ góc B)
Nên góc BCA = góc HAD
Mà góc HAD = góc BCE (tứ giác nội tiếp)
Nên góc BCA = góc BCE
Hay HC là đường phân giác của góc ACE
Gọi M là giao điểm của AH và CE
Xét ∆ACM có CH là đường cao ứng với cạnh AM (CH vuông AM)
Mà CH cũng là đường phân giác của góc ACM (cmt)
Nên ∆ACM cân tại C
Suy ra CH cũng là trung tuyến ứng với cạnh AM, hay AH=HM
Xét ∆EAM vuông tại E có EH là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra HE = HA = HM
