Đáp án:
$C.\ 31$
Giải thích các bước giải:
$\quad f(x)=\begin{cases}x^2 + 3 \quad khi\quad x\geqslant 1\\5 - x \quad\ khi\quad x < 1\end{cases}$
$I = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac12}f(\sin x)\cos xdx + 3\displaystyle\int\limits_0^1f(3-2x)dx$
Xét $I_1 = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac12}f(\sin x)\cos xdx$
Đặt $u = \sin x$
$\Rightarrow du =\cos xdx$
Đổi cận:
$\begin{array}{c|ccc}x&0&&&\dfrac{\pi}{2}\\\hline u&0&&&1\end{array}$
Ta được:
$\quad I_1 = 2\displaystyle\int\limits_0^1f(u)du$
$\Leftrightarrow I_1 = 2\displaystyle\int\limits_0^1(5-u)du$
$\Leftrightarrow I_1 = 2\left(5u - \dfrac{u^2}{2}\right)\Bigg|_0^1$
$\Leftrightarrow I_1 = 9$
Xét $I_2 = 3\displaystyle\int\limits_0^1f(3-2x)dx$
Đặt $t = 3- 2x$
$\Rightarrow dt = - 2dx$
Đổi cận:
$\begin{array}{c|ccc}x&0&&&1\\\hline t&3&&&1\end{array}$
Ta được:
$\quad I_2 = - \dfrac32\displaystyle\int\limits_3^1f(t)dt$
$\Leftrightarrow I_2 = \dfrac32\displaystyle\int\limits_1^3f(t)dt$
$\Leftrightarrow I_2 = \dfrac32\displaystyle\int\limits_1^3(t^2 + 3)dt$
$\Leftrightarrow I_2 =\dfrac32\left(\dfrac{t^3}{3} + 3t\right)\Bigg|_1^3$
$\Leftrightarrow I_2 = 22$
Khi đó:
$I= I_1+I_2 = 9 + 22 = 31$
