Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt biểu thức đã cho là A, tử số là B và mẫu số là C
Xét tử ta có:
B=$\sqrt[]{x-2\sqrt[]{x-1}}$ + $\sqrt[]{x+2\sqrt[]{x-1}}$
= $\sqrt[]{(x-1)-2\sqrt[]{x-1}+1}$ + $\sqrt[]{(x-1)+2\sqrt[]{x-1}+1}$
= $\sqrt[]{(\sqrt[]{x-1}-1)^2}$ + $\sqrt[]{(\sqrt[]{x-1}+1)^2}$
= |$\sqrt[]{x-1}$ - 1| + |$\sqrt[]{x-1}$ + 1|
= |$\sqrt[]{x-1}$ - 1| + $\sqrt[]{x-1}$ + 1
+) TH1: Nếu 1<x<2 ⇒ x-1<1 ⇒ $\sqrt[]{x-1}$ <1 ⇒ $\sqrt[]{x-1}$ - 1 < 0
⇒ |$\sqrt[]{x-1}$ - 1| = 1 - $\sqrt[]{x-1}$
⇒ B = 1 - $\sqrt[]{x-1}$ + $\sqrt[]{x-1}$ + 1 = 2
+) TH2: Nếu x≥2 ⇒ x-1≥1 ⇒ $\sqrt[]{x-1}$ $\geq$ 1 ⇒ $\sqrt[]{x-1}$ - 1 $\geq$ 0
⇒ |$\sqrt[]{x-1}$ - 1| = $\sqrt[]{x-1}$ - 1
⇒ B = $\sqrt[]{x-1}$ - 1 + $\sqrt[]{x-1}$ + 1 = 2$\sqrt[]{x-1}$
Xét mẫu ta có:
C= $\sqrt[]{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+1}$ = $\sqrt[]{(\frac{1}{x}-1)^2}$ = |$\frac{1}{x}$ - 1|
Vì x>1 ⇒ $\frac{1}{x}$ < 1 ⇒ $\frac{1}{x}$ - 1 < 0
⇒ C = | $\frac{1}{x}$ - 1 | = 1 - $\frac{1}{x}$ = $\frac{x-1}{x}$
+) TH1: Nếu 1<x<2 ⇒ A = $\frac{B}{C}$ = $\frac{2}{\frac{x-1}{x}}$ = $\frac{2x}{x-1}$
+) TH2: Nếu x≥2 ⇒ A = $\frac{B}{C}$ = $\frac{2\sqrt[]{x-1}}{\frac{x-1}{x}}$ = 2$\sqrt[]{x-1}$ . $\frac{x}{x-1}$
= $\frac{2x}{\sqrt[]{x-1}}$
Vậy với 1<x<2 thì A = $\frac{2x}{x-1}$
với x≥2 thì A = $\frac{2x}{\sqrt[]{x-1}}$
