a) Xét ΔABC cân tại A có:
M là trung điểm của AC (gt)
N là trung điểm của AB (gt)
⇒ MN là đường trung bình (định nghĩa đường trung bình trong tam giác)
⇒ MN // BC
=>Tứ giác BNMC là hình thang(định nghĩa hình thang)
Lại có: ^B=^C (tình chất các góc trong Δ cân)
nên hình thang BMNC là hình thang cân (dấu hiệu nhện biết hình thang cân)
b)
Vì ΔABC cân tại A(gt)
nên ^B=^C=^A/2=80/2=40 độ
Lại có:
BMNC là hình thang cân (theo b) nên ^BNM=^CMN(tính chất các góc trong hình thang cân)(*)
Theo định lí tổng 4 góc của tứ giác ta có:
^B+^BNM+^CMN+^C=360
=> ^BNM+^CMN=360-(^B+^C)
=> ^BNM+^CMN=360-2^B(^B=^C)
=> ^BNM+^CMN=360-2.40=280 (**)
Kết hợp (*) và (**) lại vơi nhau ta được
^BNM=^CMN=280/2=140độ
Vậy hình thang BNMC có:
^B=^C=40 độ
và ^BNM=^CMN=140 độ
c)
Trong tam giác cân thì đường trung tuyến cũng như là đường phân giác nên
^ABN=^ACN=^BCN=^CBM=^B/2=^C/2=40/2=20 độ
Xét hai tam giác AMB và ANC có:
^A chung
^ABM=^ACN=20 độ
AB=AC (ΔABC cân tại A)
=>ΔAMB=ΔANC(gcg)
=>^ANC=^AMB(hai góc tương ứng)
=>^ANC=^AMB=180-(80+20)=80 độ
Tứ giác ANOM có:
^A+^N+^O+^M=360 độ(định lí)
=>^O=360-(^A+^N+^M)=360-(80+80+80)=120 độ
Tam giác KOI có:
KN+NO=IM+MO(MO=NO do BNMC là hình thang cân và KN=IM theo giả thiết)
hay KO=IO=>ΔKOI cân tại O(định nghĩa tam giác cân)
=>^OIK=^OKI=^O/2=120/6=60 độ
ΔONM có:
ON=OM(BNMC là hình thang cân)
=>ΔONM cân tại O(dịnh nghĩa)
=>^ONM=^OMN=^O/2=120/2=60 độ
Ta thấy ^KIO=^NOM=60 độ và hai góc này lại ở vị trí đồng vị nên KI║NM
mà NM║BC(BNMC là hình thang cân)
=>KI║BC(cùng ║NM)
Tứ giác BKIC có:
KI║BC(cmt)
=>tứ giác BKIC là hình thang(định nghĩa hình thang)
Hình thang BKIC có:
KN+ON+OC=IM+MO+OB(KN=MI theo gt, MO=NO và BO=OC do BNMC là hình thang cân)
hay KC=IB
mà KI và BI là hai đường chéo của hình thang BKIC nên hình thang BKIC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
