$\text{ Xét hiệu }$
a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d)
$\text{=(a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d)}$
$\text{Ta có p⁵-p chia hết cho 5 (fermat nhỏ)}$
$\text{Chứng minh}$
$\text{ p⁵-p}$
$\text{=p(p⁴-1)}$
$\text{=p(p²-1).(p²+1)}$
$\text{=p(p-1).(p+1).(p²-4)+5.(p-1).p.(p+1)}$
$\text{=(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1)}$
Vì p là số nguyên nên p-2;p-1;p;p+1;p+2 là 5 số nguyên liên tiếp
⇒(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2) $\vdots$ 5
$\text{Mà 5.(p-1).p.(p+1) $\vdots$ 5}$
$\text{Suy ra (p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1) $\vdots$ 5}$
$\text{⇔ p⁵-p $\vdots$ 5 (1)}$
$\text{+) Mà p là số nguyên tố lớn hơn 2 nên p là số lẻ}$
$\text{⇒(p-1).(p+1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên}$
$\text{⇔(p-1).(p+1) $\vdots$ 8}$
$\text{⇔p(p-1).(p-1).(p²+1) $\vdots$ 8}$
$\text{⇔p⁵-p $\vdots$ 8 (2)}$
$\text{Từ (1);(2)⇒p⁵-p chia hêt cho 40}$
$\text{Áp dụng ta có}$
$\text{a⁵-a $\vdots$ 40 }$
$\text{b⁵-b $\vdots$ 40}$
$\text{c⁵-c $\vdots$ 40}$
$\text{d⁵-d $\vdots$ 40}$
$\text{Suy ra (a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d) $\vdots$ 40}$
$\text{⇔a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d) $\vdots$ 40}$
$\text{Mà a⁵+b⁵+c⁵+d⁵ $\vdots$ 40 }$
