Giải thích các bước giải:
Giả thiết:
$\Delta ABC, \hat A=90^o, AC>AB$
$AH\perp BC=H$
$D\in $ tia $HC, HD=HB$
$CE\perp AD=E, CE\cap AH=K$
Kết luận:
b.$AB=AD$
c.$KD\perp AC$
d.$AH.HD=KH.HB$
e.$DK+DA+DC<KC+KA$
Bài làm:
b.Ta có $HB=HD$
$\to AD^2=AH^2+HD^2=AH^2+HB^2=AB^2$
$\to AB=AD$
b.Ta có $AE\perp CK, CH\perp AK, AE\cap CH=D$
$\to D$ là trực tâm $\Delta ACK$
$\to KD\perp AC$
d.Ta có $DK//AB(\perp AC)$
$\to \dfrac{HA}{HK}=\dfrac{HD}{HB}=1$
$\to HA=HK$
$\to AH.HD=HK.HB$
e.Từ câu d$\to AK\perp BD=H$ là trung điểm mỗi đường
$\to ADKB$ là hình thoi
$\to DK+DA+DC=2DA+DC=2AB+DC$
Vì $ABKD$ là hình thoi $\to BD$ là trung trực của $AK$
Mà $C\in BD\to CA=CK$
$\to KC+KA=CA+2AH$
Để $DK+DA+DC<KC+KA$
$\to 2AB+DC<CA+2AH$
$\to 2AB+BC-BD<CA+2AH$
$\to 2AB+BC-2BH<CA+2AH$
$\to 2AB+BC-2\sqrt{AB^2-AH^2}<CA+2AH$
Đặt $AB=c, BC=a, CA=b$
$\to a^2=b^2+c^2, AH=\dfrac{bc}{a}$
$\to 2c+a-2\sqrt{c^2-\dfrac{b^2c^2}{a^2}}<b+\dfrac{2bc}{a}$
$\to 2c+a-b-\dfrac{2bc}{a}<2\sqrt{c^2-\dfrac{b^2c^2}{a^2}}$
$\to 2c+a-b-\dfrac{2bc}{a}<2\sqrt{\dfrac{c^2a^2-b^2c^2}{a^2}}$
$\to 2ca+a^2-ba-2bc<2\sqrt{c^2a^2-b^2c^2}$
$\to 2ca+a^2-ba-2bc<2\sqrt{c^2(a^2-b^2)}$
$\to 2ca+a^2-ba-2bc<2\sqrt{c^2c^2}$
$\to 2ca+a^2-ba-2bc<2c^2$
$\to 2c(a-b)+a(a-b)<2c^2$
$\to (2c+a)(a-b)<2c^2$
$\to (2c+a)(a-b)(a+b)<2c^2(a+b)$
$\to (2c+a)(a^2-b^2)<2c^2(a+b)$
$\to (2c+a)c^2<2c^2(a+b)$
$\to (2c+a)<2(a+b)$
$\to 2c+a<2a+2b$
$\to 2c<a+2b$
Mà $AC>AB\to b>c$
$\to 2c<2b<a+2b$
$\to đpcm$
