Vì $AD; AE$ lần lượt là phân giác của `\hat{BAH};\hat{CAH}`
`=>\hat{DAH}=\hat{BAD}=\hat{BAH}/2`
`\qquad \hat{EAH}=\hat{EAC}=\hat{CAH}/2`
$\\$
Ta có: `\hat{BAH}=\hat{ACE}` (cùng phụ `\hat{ABC}`)
`\hat{BAE}=\hat{BAH}+\hat{EAH}=\hat{ACE}+\hat{CAH}/2`
` \hat{BEA}=\hat{ACE}+\hat{EAC}`
(`\hat{BEA}` là góc ngoài $∆ACE$)
`=>\hat{BEA}=\hat{ACE}+\hat{CAH}/2`
`=>\hat{BAE}=\hat{BEA}`
`=>∆ABE` cân tại $B$
$\\$
Ta có: `\hat{CAH}=\hat{ABD}` (cùng phụ `\hat{ACB}`)
`\hat{CAD}=\hat{CAH}+\hat{DAH}=\hat{ABD}+\hat{BAH}/2`
`\hat{CDA}=\hat{ABD}+\hat{BAD}` (`\hat{CDA}` là góc ngoài $∆ABD$)
`=>\hat{CDA}=\hat{ABD}+\hat{ABH}/2`
`=>\hat{CAD}=\hat{CDA}`
`=>∆ACD` cân tại $C$
$\\$
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AE;AD$
`=>BM` vừa là trung tuyến, phân giác, trung trực $∆ABE$ cân tại $B$
`\qquad CN` vừa là trung tuyến, phân giác, trung trực $∆ACD$ cân tại $C$
`=>BM;CN` lần lượt là phân giác của `\hat{B};\hat{C}`
Gọi $O$ là giao điểm $BM;CN$
`=>O` là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
$\\$
Xét $∆ADE$ có:
$\quad BM; CN$ lần lượt là trung trực của $AE;AD$
`\qquad BM` cắt $CN$ tại $O$
`=>O` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ADE$
Vậy tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ADE$ (đpcm)
______________
Tâm đường tròn nội tiếp ∆ là giao điểm các đường phân giác trong
Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ là giao điểm các đường trung trực
