$\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta có$:$
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} ($định lí $Pytago)$
$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5^{2}+7^{2}}=\sqrt{74}$
$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có$:$
$AB.AC=AH.BC$
$\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5.7}{\sqrt{74}}=\dfrac{35\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$
Vậy $AH=\dfrac{35\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$