$\sqrt[]{8+2\sqrt[]{15}}$

$=\sqrt[]{(\sqrt[]{5})^2+2\sqrt[]{5}.\sqrt[]{3}+(\sqrt[]{3})^2}$

$=\sqrt[]{(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})^2}$

$=|\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3}|$

$=\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3}$

$\sqrt[]{23+4\sqrt[]{15}}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{5})^2+2.2\sqrt[]{5}.\sqrt[]{3}+(\sqrt[]{3})^2}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})^2}$

$=|2\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3}|$

$=2\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3}$

$\sqrt[]{11+4\sqrt[]{6}}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{2})^2+2.2\sqrt[]{2}.\sqrt[]{3}+(\sqrt[]{3})^2}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3})^2}$

$=|2\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}|$

$=2\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}$

$\sqrt[]{14-6\sqrt[]{5}}$

$=\sqrt[]{(3)^2-2.3\sqrt[]{5}+(\sqrt[]{5})^2}$

$=\sqrt[]{(3-\sqrt[]{5})^2}$

$=|3-\sqrt[]{5}|$

$=3-\sqrt[]{5}$

$\sqrt[]{22-8\sqrt[]{6}}$

$=\sqrt[]{(4)^2-2.4\sqrt[]{6}+(\sqrt[]{6})^2}$

$=\sqrt[]{(4-\sqrt[]{6})^2}$

$=|4-\sqrt[]{6}|$

$=4-\sqrt[]{6}$

$\sqrt[]{16-6\sqrt[]{7}}$

$=\sqrt[]{(3)^2-2.3\sqrt[]{7}+(\sqrt[]{7})^2}$

$=\sqrt[]{(3-\sqrt[]{7})^2}$

$=|3-\sqrt[]{7}|$

$=3-\sqrt[]{7}$

$\sqrt[]{9-4\sqrt[]{2}}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{2})^2-2.2\sqrt[]{2}+1^2}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{2}-1)^2}$

$=|2\sqrt[]{2}-1|$

$=2\sqrt[]{2}-1$

$\sqrt[]{13-4\sqrt[]{3}}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{3})^2-2.2\sqrt[]{3}+1^2}$

$=\sqrt[]{(2\sqrt[]{3}-1)^2}$

$=|2\sqrt[]{3}-1|$

$=2\sqrt[]{3}-1$

$\sqrt[]{7-4\sqrt[]{3}}$

$=\sqrt[]{(2)^2-2.2\sqrt[]{3}+(\sqrt[]{3})^2}$

$=\sqrt[]{(2-\sqrt[]{3})^2}$

$=|2-\sqrt[]{3}|$

$=2-\sqrt[]{3}$

$\sqrt[]{21-8\sqrt[]{5}}$

$=\sqrt[]{(4)^2-2.2\sqrt[]{3}+(\sqrt[]{5})^2}$

$=\sqrt[]{(4-\sqrt[]{5})^2}$

$=|4-\sqrt[]{5}|$

$=4-\sqrt[]{5}$