Giải thích các bước giải:
Ta có:
Áp dụng BĐT Bunhicopski ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) = \left( {{a^2} + {1^2}} \right)\left( {{b^2} + {1^2}} \right)\\
\ge {\left( {a.b + 1.1} \right)^2}\\
= {\left( {ab + 1} \right)^2} (1)
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
\Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy (*)
\end{array}$
Áp dụng $(*)$ cho $x = ab;y = 1$ nên ta có: ${\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 4ab (2)$
Từ $(1),(2)$ $ \Rightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge 4ab$
Dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{1}\\
ab = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
ab = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b = - 1\\
a = b = 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy ta có điều phải chứng minh
