Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có $xy^2+2xy-243y-x=0⇔x(y^2-2y+1)=243y⇔x(y+1)^2=243y$. Mà $(y,y+1)=1$ do $y\in \mathbb{Z} \Rightarrow (y;y+1)=1$ (y,y+1 là hai số nguyên liên tiếp nhau nên nguyên tố cùng nhau)
Từ đó ta có $243 \vdots (y+1)^2$ nên $(y+1)^2$∈${3^2;9^2}$
\(\left[ \begin{array}{l}y+1=3\Rightarrow y=2\Rightarrow x=54\\y+1=-3\Rightarrow y=-4\Rightarrow x=-108\end{array} \right.\)hoặc \(\left[ \begin{array}{l}y+1=9 \Rightarrow y=8\Rightarrow x=24\\y+1=-9\Rightarrow y=-10\Rightarrow x=-30\end{array} \right.\)
Vậy $(x;y)=(54;2),(-108;-4), (24;8), (-10;-30)$
b)Đặt $A(x)=x^3+y^3+z^3+mxyz$Vì $x+y+z=x-(-y-z)$ và$A \vdots (x+y+z)$ nên $A(x) \vdots(x-(-y-z)$. Suy ra $A(-y-z)=0 \Leftrightarrow (-y-z)^3+y^3+z^3+m(-y-z)yz=0 \Leftrightarrow -3yz(y+z)+k(-y-z)yz=0 \Leftrightarrow -yz(x+z)(3+k) \Rightarrow k=-3$
