Do $I$ thuộc trung trực của $AC$ nên $IA = IC$
Tương tự, $I$ thuộc trung trực của $AB$ nên $IA = IB$
$\Rightarrow IB = IC$ $(1)$
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$
Ta có: $\widehat{BIA} = 2\widehat{MIA}$ (tính chất đường trung trực)
$\widehat{CIA} = 2\widehat{NIA}$
$\Rightarrow \widehat{BIA} + \widehat{CIA} = 2(\widehat{MIA} + \widehat{NIA}) = 2\widehat{MIN}$
Ta lại có: $IM\perp AB, \, IN\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{MIN} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{BIA} + \widehat{CIA} = 2.90 = 180^o$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$
