a, Xét đường tròn (O) có:
AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
B, C là hai tiếp điểm
⇒ AB = AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)
⇒ ΔABC cân tại A
Mà AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)
⇒ AO là trung trực của BC
⇒ AO ⊥ BC tại H
Có OA = 2R (gt), OM = R (OM là bán kính)
⇒ M là trung điểm của OA
Xét (O) có:
+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt) ⇒ OB ⊥ AB ⇒ $\widehat{OBA}=90^o$
+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm (gt) ⇒ OC ⊥ AC ⇒ $\widehat{OCA}=90^o$
Xét ΔOBA vuông tại B ($\widehat{OBA}=90^o$) có:
BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền OA (M là trung điểm của OA)
⇒ $BM = OM = AM =\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}.2R=R$
Xét ΔOBM có: OM = BM = OB = R
⇒ ΔOBM đều
Mà BH ⊥ AO (BC ⊥ AO tại H)
⇒ H là trung điểm của OM ⇒ $HM=\frac{OM}{2}=\frac{R}{2}$
Có $OA = 2R$ (gt)
⇒ $OA.HM=2R.\frac{R}{2}=R^2$
b, Xét (O) có:
DE là dây không đi qua tâm
K là trung điểm của DE
⇒ OK ⊥ DE
⇒ $\widehat{OKD}=90^o$ Hay $\widehat{OKA}=90^o$
Có $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=\widehat{OKA}=90^o$
Ba điểm B, C, K cùng nhìn OA dưới một góc vuông
⇒ Ba điểm B, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính OA
⇒ Năm điểm A, B, O, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
