a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$\Rightarrow AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = 12\sqrt3 \, cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB.AD = BD.AO = 2S_{ABD}$
$\Rightarrow AO = \dfrac{AB.AD}{BD} = \dfrac{12.12\sqrt3}{24} = 6\sqrt3 \, cm$
$AD^2 = DO.BD$
$\Rightarrow DO = \dfrac{AD^2}{BD} = \dfrac{(12\sqrt3)^2}{24} = 18 \, cm$
$\dfrac{1}{DO^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{DC^2}$
$\Rightarrow DC = \sqrt{\dfrac{AD^2.DO^2}{AD^2 - DO^2}} = \sqrt{\dfrac{(12\sqrt3)^2.18^2}{(12\sqrt3)^2 + 18^2}} = 6\sqrt{21} \, cm$
$AD.CD = DO.AC = 2S_{ADC}$
$\Rightarrow AC = \dfrac{AD.CD}{DO} = \dfrac{12\sqrt3.6\sqrt{21}}{18} = 12\sqrt7 \, cm$
b) Ta có: $BH\perp CD$ $(gt)$
$\Rightarrow ABHD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow BH = AD; \, AB = DH$
$\Rightarrow CH = CD - DH = CD - AB = 6\sqrt{21} - 12 \, cm$
Kẻ $OK \perp CD \, (K \in CD)$
$\Rightarrow OK//BH$
$\Rightarrow \dfrac{OK}{BH} = \dfrac{DO}{DB}$ (Theo định lý Thales)
$\Rightarrow OK = \dfrac{DO.BH}{DB} = \dfrac{DO.AD}{BD} = \dfrac{18.12\sqrt3}{24} = 9\sqrt3 \, cm$
Ta được:
$S_{COH} = \dfrac{1}{2}CH.OK = \dfrac{1}{2}.(6\sqrt{21} - 12).9\sqrt3 = 81\sqrt7 - 54\sqrt3 \, cm^2$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔMBC$ vuông tại $B$, đường cao $BH$, ta được:
$MH^2 + BH^2 = BM^2$
$MH.MC = BM^2$
$\Rightarrow MH^2 + BH^2 = MH.MC$
