Đáp án:
`m\in {0;{13}/4}`
Giải thích các bước giải:
`\quad x^2-2(m-1)x+2m-5=0`
`∆'=b'^2-ac=[-(m-1)]^2-1.(2m-5)`
`∆'=m^2-2m+1-2m+5=m^2-4m+6`
`∆'=(m^2-4m+4)+2`
`∆'=(m-2)^2+2\ge 2>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
`=>`$\begin{cases}x_1^2-2(m-1)x_1+2m-5=0\\x_2^2-2(m-1)x_2+2m-5=0\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}x_1^2-2mx_1+2m-3=-2x_1+2\\x_2^2-2mx_2+2m-3=-2x_2+2\end{cases}$
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-5\end{cases}$
$\\$
Để `(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3)(x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3)=19`
`<=>(-2x_1+2-x_2)(-2x_2+2-x_1)=19`
`<=>(2x_1+x_2-2)(2x_2+x_1-2)=19`
`<=>4x_1x_2+2x_1^2-4x_1+2x_2^2+x_1x_2-2x_2-4x_2-2x_1+4=19`
`<=>5x_1x_2+2(x_1^2+x_2^2)-6(x_1+x_2)=15`
`<=>5x_1x_2+2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-6(x_1+x_2)=15`
`<=>2(x_1+x_2)^2+x_1x_2-6(x_1+x_2)-15=0`
`<=>2.(2m-2)^2+2m-5-6(2m-2)-15=0`
`<=>2(4m^2-8m+4)+2m-5-12m+12-15=0`
`<=>8m^2-26m=0`
`<=>m(8m-26)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\\8m-26=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\dfrac{13}{4}\end{array}\right.$
Vậy `m\in {0;{13}/4}` thỏa đề bài
