Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)\\
A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\\
B{C^2} = {13^2} = 169\\
\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}
\end{array}$
=> Tam giác ABC vuông tại A (theo Pytago đảo)
b)
Xét ΔAHE và ΔABH có:
+ góc AEH = góc AHB = 90 độ
+ góc EAH chung
=> ΔAHE ~ ΔABH (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AH}}\\
\Rightarrow AB.AE = A{H^2}
\end{array}$
Tương tự ta chứng minh được:
$\begin{array}{l}
AC.AF = A{H^2}\\
\Rightarrow AB.AE = AC.AF\left( { = A{H^2}} \right)
\end{array}$
b) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\begin{array}{l}
+ AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.12}}{{13}} = \dfrac{{60}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
+ A{B^2} = BH.BC\\
\Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{5^2}}}{{13}} = \dfrac{{25}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow CH = BC - BH\\
= 13 - \dfrac{{25}}{{13}} = \dfrac{{144}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
d)\\
{S_{ABH}} = \dfrac{1}{2}.AH.BH\\
= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{60}}{{13}}.\dfrac{{25}}{{13}} = \dfrac{{750}}{{169}}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
