Câu 1:
a) Thời gian xe máy đi qua đoàn tàu là:
\({t_1} = \dfrac{L}{{{v_2} - {v_1}}} = \dfrac{{150}}{{20 - 15}} = 30s\)
b) Thời gian xe máy đi qua đoàn tàu là:
\({t_2} = \dfrac{L}{{{v_2} + {v_1}}} = \dfrac{{150}}{{20 + 15}} = \dfrac{{30}}{7}s\)
Câu 2:
a) Vận tốc trung bình của xe 1 là:
\(\begin{array}{l}
{v_1}' = \dfrac{s}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{s}{{\dfrac{s}{{2{v_1}}} + \dfrac{s}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{{2{v_1}{v_2}}}}}\\
\Rightarrow {v_1}' = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = 48km/h
\end{array}\)
Vận tốc trung bình của xe 2 là:
\({v_2}' = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{t} = \dfrac{{\dfrac{t}{2}\left( {{v_1} + {t_2}} \right)}}{t} = \dfrac{1}{2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right) = 50km/h\)
b) Theo BĐT Cosi:
\(\begin{array}{l}
{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)^2} \ge 4{v_1}{v_2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)^2} \ge 2{v_1}{v_2}\\
\Rightarrow \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \ge \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} \Rightarrow {v_2}' > {v_1}'
\end{array}\)
Vậy xe 2 đến trước xe 1.
Thời gian đến trước là:
\(\begin{array}{l}
t = s\left( {\dfrac{1}{{{v_1}'}} - \dfrac{1}{{{v_2}'}}} \right) = s\left( {\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{{2{v_1}{v_2}}} - \dfrac{2}{{{v_1} + {v_2}}}} \right)\\
\Rightarrow t = s\dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} = 0,2h
\end{array}\)
c) Khi xe 2 đến đích, xe 1 cách B là:
\(\begin{array}{l}
d = {v_1}'t = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}.s\dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
\Rightarrow d = s{\left( {\dfrac{{{v_1} - {v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}} \right)^2} = 9,6km
\end{array}\)
