+) `∆ABC` đều cạnh `a=>AB=BC=AC=a`
`\hat{BAC}=\hat{ACB}=\hat{ABC}=60°`
Vì $G$ là trọng tâm `∆ABC` đều nên `G` là giao điểm 3 đường phân giác trong `∆ABC`.
`=>\hat{BAG}=1/ 2 \hat{BAC}=30°`
`=>\hat{ABG}=\hat{BAG}=30°`
`=>\hat{AGB}=180°-(\hat{ABG}+\hat{BAG})=120°`
+) Gọi $I$ là trung điểm `BC`
`=>AI` vừa là trung tuyến và đường cao `∆ABC` đều.
`=>` $AI \perp {BC}$
`=>AI=AB.sinABI =a.sin60°=a \sqrt{3}/2`
+) `G` là trọng tâm `∆ABC` đều
`=>GB=GC=GA=2/ 3 AI`
`=2/ 3 .a \sqrt{3}/2=a/{\sqrt{3}}`
+) Ta có:
`\vec{GA}.\vec{GB}=GA.GB.cosAGB`
`=a/{\sqrt{3}} . a/{\sqrt{3}}.cos120°`
`={a^2}/3 . {-1}/2={-a^2}/6`
`=>\vec{GA}.\vec{GB}={-a^2}/6`
Tương tự ta cũng có:
*`\vec{GB}.\vec{GC}={-a^2}/6`
*`\vec{GC}.\vec{GA}={-a^2}/6`
`=>\vec{GA}.\vec{GB}+vec{GB}.\vec{GC}+\vec{GA}.\vec{GC}`
`={-a^2}/6+{-a^2}/6+{-a^2}/6={-a^2}/2`
