$\text{a) Xét ΔABC và ΔADE có:}$
$\text{AB = AD (gt)}$
$\text{$\widehat{BAC}$ = $\widehat{DAE}$ = $90^{o}$}$
$\text{AC = AE (gt)}$
$\text{⇒ ΔABC = ΔADE (c.g.c) (1)}$
$\text{b) Gọi ED ∩ BC tại F}$
$\text{Có: ΔADE vuông tại A}$
$\text{⇒ $\widehat{AED}$ + $\widehat{ADE}$ = $90^{o}$}$
$\text{mà từ (1) ⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ABC}$ (2 góc t/ứ)}$
$\text{⇒ $\widehat{AED}$ + $\widehat{ABC}$ = $90^{o}$}$
$\text{⇒ ΔAFE vuông tại F}$
$\text{⇒ EF ⊥ BC hay ED ⊥ BC}$
$\text{c) Có: AE = AC (gt) ⇒ ΔACE cân tại A}$
$\text{⇒ $\widehat{AEC}$ = $\widehat{ACE}$}$
$\text{Xét ΔBCE có:}$
$\text{AC là đg cao (ΔABC vuông tại A)}$
$\text{EF là đg cao (EF ⊥ BC)}$
$\text{AC ∩ EF tại D}$
$\text{⇒ BD là đg cao ΔBCE}$
$\text{hay BH là đg cao ΔBCE}$
$\text{⇒ ΔDHC vuông tại H}$
$\text{⇒ $\widehat{HDC}$ = $\widehat{ACE}$ = $90^{o}$ (2)}$
$\text{Có: ΔBAD vuông tại A}$
$\text{$\widehat{ABD}$ = $\widehat{ADB}$ = $90^{o}$ (3)}$
$\text{mà $\widehat{HDC}$ = $\widehat{ADB}$ (đối đỉnh) (4)}$
$\text{từ (2), (3), (4) ⇒ $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$}$
$\text{mà $\widehat{AEC}$ = $\widehat{ACE}$ (cmt)}$
$\text{⇒ $\widehat{ABD}$ = $\widehat{AEC}$}$
$\text{⇒ ΔHBE cân tại H}$
$\text{⇒ HB = HE}$
