Câu 1:
$\left\{{{\frac{8}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{|2y-1|}=5}\atop{\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{|1-2y|}=2}}\right.$
$⇔\left\{{{\frac{8}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{|2y-1|}=5}\atop{\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{|2y-1|}=2}}\right.$
$(ĐK: x≥0; y\ne\frac{1}{2})$
Đặt: $\left\{{{\frac{1}{\sqrt{x}+1}=a}\atop{\frac{1}{|2y-1|}=b}}\right.$
$\to \left\{{{8a+3b=5}\atop{4a+b=2}}\right.$
$⇔\left\{{{8a+3b=5}\atop{8a+2b=4}}\right.$
$⇔\left\{{{b=1}\atop{a=\frac{1}{4}}}\right.$
$\to \left\{{{\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{4}}\atop{\frac{1}{|2y-1|}=1}}\right.$
$⇔\left\{{{\sqrt{x}+1=4}\atop{|2y-1|=1}}\right.$
$⇔\left\{{{\sqrt{x}=3}\atop{\left[\begin{array}{}2y-1=1\\2y-1=-1\end{array}\right.}}\right.$
$⇔\left\{{{x=9}\atop{\left[\begin{array}{}y=1\\y=0\end{array}\right.}}\right.$
$\to \left[\begin{array}{}\left\{{{x=9}\atop{y=1}}\right.\\\left\{{{x=9}\atop{y=0}}\right.\end{array}\right.$
Câu 2:
a)
$y=\frac{1}{2}x^2$
$y=(m+1)x-m$
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
$\frac{1}{2}x^2=(m+1)x-m$
$⇔x^2-2(m+1)x+2m=0$
Ta có: $\Delta '=(m+1)^2-2m\\\hspace{0,5cm}=m^2+2m+1-2m\\\hspace{0,5cm}=m^2+1>0\,∀m$
$→$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b)
Ta có hoành độ giao điểm là $x^2-2(m+1)x+2m=0$
Theo Viet: $\left\{{{x_1+x_2=2(m+1)}\atop{x_1x_2=2m}}\right.$
Có: $\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$
$→\sqrt{2}\sqrt{x_1}+\sqrt{2}\sqrt{x_2}-\sqrt{5}\sqrt{x_1}\sqrt{x_2}=0$
$⇔\sqrt{2}(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})=\sqrt{5}\sqrt{x_1}\sqrt{x_2}$
$⇔2(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2=5x_1x_2$
$⇔2×(x_1+2\sqrt{x_1}\sqrt{x_2}+x_2)-5×2m=0$
$⇔2×2(m+1)+4\sqrt{x_1x_2}-10m=0$
$⇔4m+4+4\sqrt{2m}-10m=0$
$⇔4\sqrt{2m}=6m-4$
$⇔\sqrt{2m}=\frac{6m-4}{4}$
$(\text{ĐK:} \frac{6m-4}{4}≥0 ⇔m≥\frac{2}{3})$
$⇔2m=\frac{36m^2-48m+16}{16}$
$⇔36m^2-48m+16=32m$
$⇔36m^2-80m+16=0$
$⇔\left[\begin{array}{}m=2\text{ (thỏa mãn)}\\\hspace{-1,1cm}m=\frac{2}{9}\text{ (loại)}\end{array}\right.$
Vậy $m=2$ thỏa mãn đề bài
