$\quad y = 2x^3 - 3(2m+1)x^2 + 6m(m+1)x + 1$
$\Rightarrow y' = 6x^2 - 6(2m+1)x + 6m(m+1)$
Hàm số có cực trị
$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 9(2m+1)^2 - 36m(m+1) > 0$
$\Leftrightarrow 9 > 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow$ Hàm số luôn có hai điểm cực trị
Ta được:
$\quad y = y'\left(\dfrac x3 - \dfrac{2m+1}{6}\right) - x + 2m^3 + 3m^2 + m + 1$
$\Rightarrow \Delta: y = - x + 2m^3 + 3m^2 + m + 1$ là đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số
$\Rightarrow \Delta\perp d: y = x +2$
Khi đó:
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua $d$
$\Leftrightarrow$ Điểm uốn $U\in d$
Ta có:
$\quad y'' = 12x - 6(2m+1)$
$\quad y'' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2m+1}{2}$
$\Rightarrow U\left(\dfrac{2m+1}{2}; \dfrac{8m^3 - 12m -1}{4}\right)$
Do đó:
$Ycbt \Leftrightarrow \dfrac{8m^3 - 12m - 1}{4} = \dfrac{2m+1}{2} + 2$
$\Leftrightarrow 8m^3 - 16m - 11 = 0$
$\Leftrightarrow m = 1,67897$
