`a)` `BM;CN` là hai đường cao của $∆ABC$
`=>\hat{BMC}=\hat{BNC}=90°`
`=>2` đỉnh $M;N$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông
`=>BCMN` nội tiếp
Gọi $K$ là trung điểm $BC$
`=>MK;NK` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông `∆BMC;∆BNC`
`=>MK=NK=BK=CK=1/ 2 BC`
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCMN$ có tâm $K$ là trung điểm $BC$
$\\$
`b)` Vì $H$ là giao điểm hai đường cao $BM;CN$ của $∆ABC$
`=>H` là trực tâm $∆ABC$
`=>AH`$\perp BC$
$\\$
Ta có:
`\hat{HAN}=\hat{NCB}` (cùng phụ `\hat{NBC}`)
`\hat{EAN}=\hat{NCB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EB$)
`=>\hat{HAN}=\hat{EAN}`
`=>AN` là phân giác của `\hat{EAH}`
Mà $AN\perp EH$ tại $N$ (do $CN\perp AB$)
`=>AN` vừa là đường cao và phân giác của $∆AEH$
`=>∆AEH` cân tại $A$
`=>AN` cũng là đường trung trực của $EH$
`=>AB` là trung trực của $EH$
`=>E` và $H$ đối xứng qua $AB$ (đpcm)
