Đáp án:
$a. A = \frac{1}{\sqrt[]{a}+1}$
$b. a = 4$
$c.$ GTLN $A = 1$ khi $a = 0$
$d. a = 0$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $a ≥ 0 ; a \ne 1$
$a. A = \frac{a-\sqrt[]{a}}{a-1} - \frac{\sqrt[]{a}-1}{\sqrt[]{a}+1}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{a}(\sqrt[]{a}-1)}{(\sqrt[]{a}-1)(\sqrt[]{a}+1)} - \frac{\sqrt[]{a}-1}{\sqrt[]{a}+1}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}+1} - \frac{\sqrt[]{a}-1}{\sqrt[]{a}+1}$
⇔ $A = \frac{1}{\sqrt[]{a}+1}$
$b. A = \frac{1}{3}$
⇔ $\frac{1}{\sqrt[]{a}+1} = \frac{1}{3}$
⇔ $\sqrt[]{a} + 1 = 3$
⇔ $\sqrt[]{a} = 2$
⇔ $a = 4$ ( TM )
$c. A = \frac{1}{\sqrt[]{a}+1}$
Vì $\sqrt[]{a} ≥ 0$ với $∀ a ≥ 0$
⇒ $\sqrt[]{a} + 1 ≥ 1$
⇒ $\frac{1}{\sqrt[]{a}+1} ≤ 1$
⇔ $A ≤ 1$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a = 0$
$d. A = \frac{1}{\sqrt[]{a}+1}$
Vì $\frac{1}{\sqrt[]{a}+1} > 0$ với $∀ a ≥ 0$
⇒ $0 < A ≤ 1$ ( $A ≤ 1$ chứng minh câu b )
Mà $A ∈ Z ⇒ A = 1$
⇔ $\frac{1}{\sqrt[]{a}+1} = 1$
⇔ $\sqrt[]{a} + 1 = 1$
⇔ $\sqrt[]{a} = 0$
⇔ $a = 0$ ( TM )
